Methoden zur Faktorisierung von Polynomen in Koeffizientendarstellung
Betreuer: M.Sc. Xingzhou Chen
Vortragender: Da Chen
Problemstellung: Ein Polynom P(x) vom Grad n besitzt im Allgemeinen genau n komplexe Nullstellen si und kann als Produkt der Linearfaktoren geschrieben werden als: P(x) = c (x – s1) (x – sn) mit einer Konstanten c, dem Koeffizienten von xn. Sind die Koeffizienten eines Polynoms reellwertig können auch konjugiert komplexe Terme vorhanden sein. D.h., ein Polynom wird durch Faktorisierung in eine Funktion aus einzelnen Polynomen mit unabhängigen Nullstellen zerlegt, die miteinander multipliziert werden und 1-ten Grades oder 2-ten Grades sind. Bei Polynomen in Koeffizientendarstellung, die z.B. Übertragungsfunktionen von analogen Schaltungen darstellen, kann diese Schaltung auf Null- und Polstellen untersucht und damit das Verhalten der Schaltung modelliert werden. Ein mögliches Anwendungsgebiet ist das binäre System. Nullstellen eines Polynoms 2-ten Grades können durch die Mitternachtsformel direkt bestimmt werden, Polynome 3-ten und 4-ten Grades durch die Cardanischen Formeln. Was ist der höchste Grad eines Polynoms, bei dem es ein allgeneine Lösungsvorgehensweise gibt?
Problemlösung: Es soll ein Algorithmus zur Faktorisierung von Polynomen ausgearbeitet werden, der nicht auf annähernden, numerischen Verfahren, sondern auf analytischen Verfahren basiert, sodass ein eindeutiges Polynom in faktorisierter Darstellung vorliegt. Dieser Algorithmus kann im zweiten Schritt programmiert werden, sodass bei Eingabe des Polynoms ein faktorisiertes Polynom ausgegeben wird.
Durchführung:
Die Durchführung ist in vier Teilen geplant:
- Einarbeitung in die Theorie der Faktorisierung von Polynomen
- Einarbeitung in binäre Systeme
- Ausarbeitung der Vorgehensweise zur Bestimmung der Nullstellen
- Erstellung eines Programms zur Faktorisierung von Polynomen
Termin: 06.02.2025